基于Copula函数的比特币与黄金价格相关性分析

引言

自2008年比特币诞生以来，加密数字货币的属性在国际上尚未形成统一标准。据统计，当前加密数字货币种类已超过4000种，其中具备市场价值的达2300余种。随着市场规模不断扩大、交易频率持续提升，数字货币的影响力已不容忽视。

以比特币为代表的加密数字货币自2009年发行以来，价格波动极为剧烈。其日收盘价曾在两个月内上涨10倍，也在一周内暴跌80%，对短期投资者构成显著风险。从历史数据来看，比特币价格从172.7美元攀升至28,841.57美元，波动幅度高达167倍，充分体现了其价格不稳定性。这种市场现象为普通投资者、经济学家、企业家及政府带来了新的挑战与机遇，也凸显了对比特币资产定价模型进行研究的重要性。

随着比特币市场的发展，学界对其关注度日益提升。本文聚焦于比特币与黄金价格变动之间的关系，以下简要回顾相关研究成果：

Al-Khazali等学者研究了宏观经济新闻对比特币和黄金回报率及波动性的影响
Henriques和Sadorsky应用GARCH模型验证了比特币在投资组合中可替代黄金的可能性
Sahin Telli和Hongzhuan Chen通过MFDFA模型发现比特币收益率与黄金收益率具有不同的多重分形特性
Sang Hoon Kang利用GARCH模型和小波相关方法发现了比特币与黄金期货价格间的波动持续性和因果关系
Dyhrberg研究发现比特币的市场行为特征介于黄金和美元之间
Francisco Jareno基于2010-2018年数据发现极端市场条件下比特币收益率更为敏感

Copula函数理论基础

基本概念

Copula函数由Sklar于1959年提出，其核心理论是将多元随机变量的联合分布分解为边缘分布和一个连接函数（即Copula函数）。该函数能有效捕捉变量间的相关关系。1999年，Nelsen对Copula理论进行了系统总结，并提出了阿基米德Copula函数，进一步完善了该理论体系。

定理表述：令H为联合分布函数，F₁,...,Fₙ为边缘分布函数，则存在一个Copula函数C，使得对所有定义域内的点都有：H(x₁,...,xₙ) = C(F₁(x₁),...,Fₙ(xₙ))。

常用Copula函数类型

二元正态Copula函数

该函数分布表达式为：
C(u,v;ρ) = Φρ(Φ⁻¹(u), Φ⁻¹(v))

密度函数为：
c(u,v;ρ) = (1/√(1-ρ²))exp(-(x²+y²-2ρxy)/(2(1-ρ²)) + (x²+y²)/2)

虽然二元正态Copula函数在相关性描述中应用普遍，但由于其对称性特点，无法有效捕捉金融市场变量间的非对称相关关系。

阿基米德Copula函数

由Genest和Mackay于1986年提出，其表达式为：
C(u,v) = φ⁻¹(φ(u)+φ(v))

其中φ为母函数，需满足三个条件：

φ(1)=0且lim_{t→0⁺}φ(t)=∞
对任意t∈(0,1)，φ'(t)<0，φ''(t)>0
φ⁻¹在[0,∞)上完全单调

常用二元阿基米德Copula函数包括：

Gumbel Copula函数
分布函数：C(u,v;α) = exp(-[(-lnu)¹/α + (-lnv)¹/α]α)
密度函数呈现"J"型特征，上尾高而下尾低，具有非对称性，对上尾部变化更为敏感。

Clayton Copula函数
分布函数：C(u,v;α) = (u⁻α + v⁻α -1)⁻¹/α
与Gumbel相反，呈现上低下高的特征，对下尾部相关性反应更为迅速。

Frank Copula函数
分布函数：C(u,v;α) = -1/α ln(1 + (e⁻αu-1)(e⁻αv-1)/(e⁻α-1))
具有对称性，呈"U"型分布，与二元正态Copula类似，只能描述对称相关关系。

实证分析过程

研究思路

本研究首先基于2015-2018年的比特币日价格和黄金价格数据计算对数日收益率，使用eviews8.0软件分析样本统计特性和分布特征。随后建立边缘分布模型，运用Matlab软件选取合适的Copula函数，包括二元正态Copula、t-Copula、Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula函数。通过参数估计和相关测度计算，比较各模型效果，依据欧氏距离最短原则选择最佳拟合模型，最终确定黄金与比特币价格间的相关关系。

数据来源与处理

比特币日交易价格数据来自数字货币统计网站coinmarketcap.com，黄金每日收盘价数据源自国泰安数据库(CSMAR)。考虑到样本容量与噪音影响的平衡，最终选取2015年至2018年期间的数据作为研究样本。

模型选择与评估

通过单位根检验发现，比特币和黄金收益率的t统计量均小于1%、5%和10%检验水平下的临界值，概率值也小于0.05，表明两序列均通过平稳性检验。

描述性统计显示：

比特币对数收益率序列均值为0.079704
偏度为-1.029290（左拖尾较长）
峰度为16.24033（远超过3，呈现厚尾特征）
J-B统计量为22,702.14，P值为0.000000，拒绝正态分布原假设

QQ图分析进一步证实序列不服从正态分布，因此采用经验分布近似总体分布。核密度估计显示拟合度较高，表明该方法对确定变量分布具有有效性。

通过二元频率直方图和二元分布直方图分析，发现频率直方图具有非对称尾部特征，因此放弃使用对称尾部特征的Copula函数，选择非对称尾部特征的Copula函数进行描述。在三种阿基米德Copula函数中，Gumbel Copula函数的平方欧氏距离最小（0.0174），最终被选为描述比特币和黄金价格相关结构的最佳模型。

研究结论

通过Gumbel Copula函数对比特币和黄金收益率序列进行相关性分析，得出以下结论：

Kendall秩相关系数为0.026，表明比特币对数日收益率与黄金对数日收益率变化一致的概率大于不一致概率
Spearman秩相关系数为0.04，进一步证实两者边缘分布存在正相关关系
长期趋势上两者保持协同运动，但相关系数数值不大，不排除短期内的相向运动现象
比特币和黄金价格的相关结构具有非对称性的尾部特征

这一研究结果对投资者具有重要参考价值：当投资组合中某一变量发生急剧变动时，应及时警惕并调整投资策略。本文提供的定量分析结果为投资者提供了具体的量化参考指标。

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常见问题

Copula函数在金融分析中有何优势？
Copula函数能够有效捕捉变量间的非线性相关关系，特别适用于具有尖峰厚尾特征的金融时间序列数据。相比传统线性模型，它能更准确地描述变量间的依赖结构，尤其是在极端市场条件下的相关性变化。

比特币与黄金的相关性对投资者意味着什么？
正相关关系表明两者在长期趋势上同向运动，可作为分散投资风险的参考。但相关系数不高说明这种关系并不稳定，投资者仍需关注短期市场波动和突发因素影响。

如何选择最适合的Copula函数？
需要通过多种统计检验综合判断，包括平方欧氏距离计算、AIC/BIC信息准则比较、以及模型拟合优度检验等。在实际应用中，往往需要尝试多种Copula函数形式，选择最能准确描述变量间依赖结构的模型。

本研究结论是否适用于其他数字货币？
本研究主要针对比特币与黄金的相关性，结论可能不直接适用于其他数字货币。不同数字货币具有不同的市场特性和波动特征，需要单独进行相关性分析。

Copula函数能否预测未来价格走势？
Copula函数主要用于描述变量间的相关结构，而非直接预测价格。它可以帮助理解市场间的联动关系，但实际投资决策还需结合其他分析方法和市场信息。